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第五章 论冰岛水晶的奇异折射
1．有一种取自冰岛——北海中纬度66度的一个岛屿的水晶或透明石头，由于它的外形和其他性质，首先是奇异折射性而值得特别注意。尤其是由于在各类透明物体中唯有这一类不遵循关于光线的通常规则，所以我认为有必要仔细地研究奇异折射性的原因。我甚至是不得已而进行这一研究，因为这种水晶的折射似乎推翻了我们先前对于规则折射的解释；恰恰相反，正如以后将会看到的，在同一原理下，水晶的奇异折射有力地证实了我们的解释。在冰岛找到的一些大水晶块中，我看到的有的达4到5磅重。不过在其他国家也有发现，我就有一些同样类型的水晶，其中一部分是在法国香巴尼的特洛伊斯城（Troyes in Champagne）附近找到的，另外一部分出自于科西嘉岛（Corsica），尽管它们都不太透明而且只是些小片片，简直不能观察到任何折射效应。
2．已公开的关于冰岛水晶的第一手资料来源于伊拉斯莫斯·巴塞林那斯（Erasmus Bartholinus）先生，他已经给出了冰岛水晶及其主要现象的描述。但是在这里我并不准备放弃给出我自己的描述。这里为了给那些可能没看过他的书的人们一些指导，也是由于就某些现象而言，他的观察和我所作的那些观察之间存在着细微差别：因为我非常严谨地考察这些折射性质，使得在着手解释它们的原因之前就有十分的把握。
3．由于这种石头坚硬而且易于被劈开，它应被视为一种云母而不是一种晶体。因为铁钉在它上面弄一个切口，就象在任何其他比重相等的云母或雪花石膏上弄一个切口那样容易。
4．现有的冰岛水晶碎片具有斜平行六面体的外形；六个面中的每一个面都是平行四边形；可以顺着与每两个相对面平行的三个方向劈开。如果你愿意的话，所有的六个面都可以是相等的相似菱形。这里附图表示一片这种水晶。所有的平行四边形的钝角，这里C和D，都是101度52分。因此锐角（如A和B）为78度8分。
5．在立体的中，有两个彼此相对的角，如C和E，它们之中每一个都是由三个相等的平面钝角所组成的。其他六个立体角则由二个锐角与一个钝角组成。所有我刚才讲述的内容都已被巴塞林那斯先生在他的论文中同样地说明，我们的一些细微差别只是角度的数值。此外，他还详细叙述了这种水晶的其他一些性质，即当用布摩擦后，它会象琥珀、钻石、玻璃和西班牙蜡一样吸引稻草及其他一些轻小物体。把一片水晶用水盖一天或者更长一段时间，它的表面会失去天然的光泽。如果将浓硝酸泼在水晶上面，尤其是像我所发现的，如果水晶被研成了粉末，会产生起泡现象。通过实验我还发现，它在火中加热时会变成红色，而没有其他变化或减小透明度。尽管如此，非常猛强的火会把水晶溶解。冰岛水晶的透明度几乎不比水和岩石晶体逊色，并且它还是无色的。但是，光线却以不同方式穿透它，并且产生了那些我正将试图解释其原因的不可思议的折射现象。关于这种水晶的形式与异常结构的推测，将留到本书的末尾。
6．我们已知的所有其他透明体中，只存在着一种单一简单的折射，然而在这种物质中却存在着两种不同的折射。其效应是，透过它所看到的物体，尤其如那些正对它而放置的物体，看起来是双的；并且照在其某一表面上的一束太阳光会自己分裂为两束穿过晶体。
7．对于其他那些透明体，还存在着另一个普遍性的规律，即垂直照在表面的光线将不被折射地笔直穿过，而斜照的光线则总是被折射。但是，在这种晶体中，垂直光线会被折射，也存在着笔直穿过的斜照光线。
8．为了更详细地解释这些现象，首先，假定有一块这种水晶ABFE。设组成等角立体角C的三个平面角之一的钝角ACB被直线CG分为两个相等的部分。设想晶体被一个过这条直线和边CF的平面所分割，该平面应当垂直于表面AB，并且其在晶体内的截面将构成一个平行四边形GCFH。我们称这一截面为晶体的主截面。
9．现在，如果我们遮盖住表面AB，仅在直线CG上的K点留一个小孔，并将它暴露在太阳下，使得太阳光线从上方垂直地正对它，那么光线IK将在K点自己分裂为两束，一束将沿KL笔直地继续下去，另一束将沿直线KM分离开。这里的KM位于平面GCFH上，并与KL构成一个倾向立体角C那一边的大约为6度40分的角；并且当它在晶体的另一面出现时，它又将变得与IK平行而沿着直线MZ。因为在这种异常折射中，由折射光线MKI看到的点M，我们认为是由I到达眼睛的，由此必定得出，通过同样的折射，由折射光线LRI将看到点L，结果是倘若离眼睛的距离KI非常大的话，LR将与MK平行。那么，点L看起来就似乎在直线IRS上；但是，在正常折射中，这个点看起来又似乎在直线IK上，因此它必定被判断为双的。同样，如果L是放在晶体上的一张纸或者其他东西上的一个小孔，当把它翻转过来朝向日光时，孔看起来好象就有两个，两且这两个孔看来随着晶体厚度的增大而彼此分开。
10．另外，如果我们转动晶体，使得一束入射太阳光NO将在平面GCFH上继续行进，它与GC构成73度20分的角，也就几乎与棱边CF平行，CF与FH构成70度57分的角。那么依据我们将在最后所作的计算，这束光线将在O点自己分裂为两束，一束将沿着与NO在同一直线的OP继续下去，并同样不折射地从晶体的另一侧穿出；另一束将被折射而沿着OQ继续下去。必须注意，通过GCF或者与之平行的那些平面才是特殊的，位于这些平面上的所有入射光线在进入晶体后，继续保持在这些平面内并变为双重的。我们以后将要看到，与晶体相交的其他那些平面内的光线，情况完全不一样。
11．首先，我通过这些实验和其他一些有关光线在这种晶体中受到的双重折射的实验认识到，有一种折射是遵循正常规则的，光线KL和OQ就属于这种折射。这就是我为什么要把这种正常折射从其他折射中区别开来的原因；通过精确的观察来对这种折射进行测量，我发现其入射线与反射线同垂线所夹角的正弦比极其接近5比3，这一结果同巴塞林那斯的发现一样，比岩石晶体或者玻璃的正弦比3比2要大。
12．精确地进行这些观察的手段如下所述。在置于完全平坦桌面之上的一张纸上，画出黑线AB以及另外两条与它垂直相交而又彼此相距的黑线CED和KML。它们之间距离的大小依照所要考察的光线的倾斜多少而确定。然后，把晶体置于交点E上，使得线AB与晶体下表面的钝角平分线重合或平行。当眼睛位于线AB的正上方时，看起来仅是单线，而且还会看见，通过晶体看到的部分与露在晶体外的部分汇集在一条直线上。但是，线CD看起来是双的，并且能分出由于正常折射而出现的像。当人们用双眼来观察它时，它似乎比另一个像上升得更高些，或者，把晶体在纸上转一圈，它保持不动，而另一个像移动并又完全移回来。然后，让眼睛位于I点（总是保持在与AB垂直的平面内），以便看到由线CD通过正常折射而形成的像，与它在晶体外的剩余部分成为一条直线。在晶体的表面上标记一个点H，它在所出现的交点E的正上方。再将眼睛向O方向移动，并始终保持在与AB垂直的平面内，使得由正常折射形成的线CD的像，与不经过折射所看到的线KL，在一条直线上出现。然后在晶体上交点E出现的地方标记点N。
13．那么，就可以知道线NH、EM和HE的长度与位置，其中HE为晶体的厚度。在图上分别描出这些线，并连接NE和NM。NM与HE相交于P点。折射比则是EN与NP的比。这是因为它们之间的比值等于角NPH与角NEP的正弦比。这两个角则分别等于入射线NO与反射线NE与表面的垂线所夹的角。我已经说过，这一比值非常精确地等于5比3，并且对于各种倾角的入射线都是如此。
14．我也采用这种观察方式来研究冰岛晶体的异常折射或不规则折射。如上所述，在E点的正上方已经找到和标记了H点，我就观察线CD经过异常拆射造成的外形。让眼睛位于Q点，使得这个外形与没有折射的线KL在同一条直线上，于是定出了三角形REH与RES，并随之定出了角RSH与RES，即入射线与反射线同垂线所构成的角。
15．但是我发现在这一折射中，ER与RS的比，不象正常折射中那样是一个常数，而是随着入射线倾斜程度的改变而改变。
16．我也发现，当QRE成为一条直线时，即当入射线进入晶体不折射时（正如我在这种情形下所断定的，通过异常折射看到的E点在线CD上出现，看起来象没有折射），角QRG如上所述是73度21分，因而它不是与晶体棱边平行的光线，正象巴塞林那斯所认为的那样，棱边与光线相交，光线是直线而没有折射，因为夹角如我们上面所述仅为70度57分。为了使人们不至于凭借它与棱的平行性来研究这种光线的独特性质的缘由，这一点必须引起注意。
17．继续进行寻找这种折射本质的观察，我最终认识到，它遵循以下不平常的规则。按前面的规定，以晶体的主截面作平行四边形GCFH，单独标出。我发现，来自对侧的两束光线，如这里的VK和SK，当它们的倾角相等时，它们的折射线KX和KT与底线HF相交时，总是使X和T到M的距离同样远，这里M是垂直光线IK的折射线落到的地方。这种情形对于晶体的其他截面而言，也会发生。不过，在讨论那些还具有其他特性的情形之前，我们将研究一下我曾报告过的那些现象的起因。
正是在采用球面光发射解释普通透明体的折射之后，我才继续有关这种晶体性质的考察，而在此以前我不能够作出任何发现。
18．由于存在着两种不同的折射，我设想也存在着两种不同的光波发射形式，并且其中一种可能在贯穿晶体的以太物质中发生。依据以上的解释，这种物质比构成晶体的微粒多得多，单独存在时是透明的。假定这些波具有普通的球面形式，在晶体内比在晶体外传播得慢，并由此产生上述的折射，我认为波的这种发射是这种石头中观察到的正常折射。
19．对于产生不规则折射的另外一种发射，我曾希望试用椭圆波，或更确切些，回转椭球波来做。依照我解释透明性的最后一种模式，我假定这些波在弥漫于晶体的以太物质中和在构成晶体的微粒中都将一样地传播。在我看来，这些微粒的配置或规则排列都有助于形成回转椭球波（关于这一点，只要求光在某一个方向上传播比其他方向快一点），并且由于其外形和角度是确定不变的，我毫不怀疑在这种晶体中存在着相同和相似微粒的这种排列。对于这些微粒以及它们的构形与分布，我将在本书的结尾提出我的猜测并给出一些证实它们的实验。
20．在观察了呈现六角形结构的普通〔岩石〕晶体内的一种可靠现象之后，我对于我所设想的光波双重辐射就更有把握了，这种晶体因其规则性似乎是由有确定外形并且整齐排列的微粒组成。既然如此，这种晶体就象那些来自冰岛的水晶一样，也会产生双重折射，虽然现象不太明显。从这种晶体上切下一些具有不同截面并抛光了的棱往体，透过它们观察蜡烛的火焰或窗户玻璃格，我都看到，每一个东西都呈现为双的，尽管这些像相距并不远。既然它们老是有这样小的长度，由此我明白了为什么这种物质透明却不能用于望远镜上的原因。
21．依照我先前建立的理论，这种双折射似乎需要光波的一种双重辐射，两种波都是球面的（因为对于这两种波，折射都是规则的），只是其中一束波比另一束进行得慢些。因此，正如我在冰岛水晶情形下所作的那样，只要假定物质是传递这些波的媒介，就十分容易解释这种现象。这样，承认在同一物体中有波的两种辐射就没什么麻烦了。由于可能曾经有人反对，在组成由具有确定外形和规则堆积的相同微粒的两种晶体时，微粒留下的充满以太物质的空隙不足以去传递我们在那里给定的光波，我假定这些微粒具有一种罕见的构造，更恰当地说，假定它们由其他更小的微粒所组成，以太物质可以自由地在它们之间穿过，从而排除了这一困难。此外，从有关物体是由更小的物质组成的论证，也必定得到这一点。
22．除了球面波外又假定了这些回转椭球波之后，我开始考察它们是否可以用于解释不规则折射现象以及怎样通过这些现象来决定回转椭球的外形与方位：对于这一点，通过以下程序我至少已经取得了预期的成功。
23．我首先考虑到形成的光波的结果，对于垂直照射在透明体的平坦表面上的光线，光波应当这样在其中传播。假定AB为表面的露出部分。并且，因为依据前面的理论，来自于遥远光源并垂直于一个平面的光线不是别的，而是平行于那个平面的光波的一部分的入射，所以我假定与AB平行并且等于AB的直线RC为光波的一部分。在这一部分光波中，诸如RHhC等无穷多个点将在表面AB上交于AKkB。正如前面在处理折射时解释的那样，这里的这些波必定是半回转椭球形的，而不是从通常折射体最后那些点中的每一个所发出的半球形分波。假定它们的轴（确切地说是长轴直径）与表面AB不垂直，如图，回转椭球SVT的半轴或者主半径为AV，它表示当波RC到达AB之后由A点出发的分波。我所指的长轴或长轴半径，是因为同一椭圆SVT可以被看作是回转椭圆的截面，它的轴与AV垂直。不过就目前而言，一些因素还没有确定，我们不妨只在由这张图所给出的椭圆截面中来考虑这些回转椭球。现在设由A点出发的波SVT传播时需要某一段时间，由其他的点KTB也必定同时传出与SVT一样的波，并且处于一样的位置。所有这些半椭圆的公切线应当是波RC照在AB之后的传播。这些波所处的地方，是由无数多个中心沿着线AB上的椭圆弧组成的切线，也是比其他地方的运动总量更多的地方。
24．显然，这根公切线NQ平行于AB，长度与AB相等，但并不正对着它，因为它夹在直线AN、BQ之间。AN、BQ是以A和B为中心的椭圆的长轴，而与它们相配的短轴不在直线AB上。通过这种方法，我理解了原先看来十分困难的一件事，即一束垂直于表面进入透明体的光线是怎样受到折射的。人们可以看到，到达孔AB的波RC从那里继续向前，在平行线AN与BQ之间传播，而本身又保持与AB平行，使得这里的光与通常的折射不同，不是沿着与波垂直的线传播，而是沿着与波斜交的线传播。
25．接下来研究在晶体中这些回转椭球的位置和形状，我认为六个表面的确都能产生一样的折射。取一个平行六面体AFB，它的钝角立体角C由三个相等的平面的组成，设想它中间的三个主截面，其中一个垂直于表面DC并通过棱边CF，另一个垂直于表面BF并通过棱边CA，第三个垂直于表面AF并通过棱边BC；我们知道入射光线在这三个平面内的折射是完全类似的。除非回转椭球的轴就是立体角C的轴，否则就没有任何位置能使回转椭球与三个截面有同样的联系。结果我看到，这个立体角的轴，即从C点穿过晶体所作的与棱边CF、CA、CB有相等倾角的直线，就是确定设想的由晶体内部或者晶体表面的某一点出发的那些回转椭球位置的直线，因为这些回转椭球都应该相似，并且它们的轴互相平行。
26．随后再考虑三个截面中的某一个的平面，即通过GCF的平面，它的角度等于109度3分，因为的F上方的角度等于70度57分。同时，设想一个以C点为中心的回转椭球波，我们知道，它的轴必定在这个平面上，并且在下图中我用CS来表示它的半轴。通过计算（将与其他内容一起，在讨论的结尾给出）求角CGS的值，我得到它为45度20分。
27．再来了解这个回转椭球的形状，即其椭圆截面的互相垂直半径CS与CP的比，我认为椭圆与平行于CG的直线FH的切点M，应该使CM与垂线CL成6度40分的夹角。因为，这么做后，这个椭圆就满足我们以上关于光线垂直照射与垂线CL之间有相同倾角的表面时折射的论述。这样安排以后，取CM为100，000，后面将给出的计算求得长轴半径CP等于105，032，短轴半径CS等于93，410，它们的比值非常接近于9比8。因此，这一回转椭球类似于一个被压扁的球，可以通过椭圆绕其短轴旋转而得。我还求得，平行于切线ML的半径CG的值为98，779。
28．现在转过来研究倾斜入射光线的折射。依据我们的回转椭球波假设，我发现这些折射依赖于晶体外以太中的光速与晶体内的光速的比例。譬如，假定这个比例使光在晶体中形成回转椭球GSP，如同刚才说的那样，它在外部形成一个半径等于以后将确定的线段N的球，以下就是求入射光线折射的方法。设有一束光线RC照射在表面CK上。作CO垂直于RC，横切角KCO调节OK，使之等于N并垂直于CO。然后作与椭圆GSP相切的线KI。再过切点I，联结IC，它就是所求的光线RC的折射。将会看到，这一点的证明同我们用来解释普通折射的证明完全一样。因为，光线RC的折射，不是别的而是波CO的C部分在晶体中继续的行进。在光由O到达K的时间内波的H部分将沿直线HX到达表面CK，并且以X点为中心在晶体中产生某种类似于半回转椭球GSPg的半回转椭球面分波，位置也一样。回转椭球面分波的长轴直径和短轴直径与线XV（线HX延长到平行于CO的KB的延长部分）的比，等于回转椭球GSPg的长、短轴直径与线CB或者N的比。显而易见，所有这些在这里由椭圆表示的回转椭球的公切线就是直线IK。因此，直线IK是波CO的传播；而I点是O的传播，这一点与普通折射中的证明一致。
为了寻找切点I，众所周知的是必须找出CD，即CK和CG的比例第三项。作与已知线CM平行的线DI，CM是与CG配对的直径。联结KI，它与椭圆相切于I点。
29．现在，当我们找到了光线RC的折射线CI后，同样地，作C0垂直于rC，并遵循前面的论证步骤可以找到从另一边入射的光线rC的折射线Ci。由此可以看到，如果光线rC同RC的倾斜角度一样，线Cd必定等于线CD，因为Ck等于CK，而Cg等于CG。因此，Ii被与DI和di平行的线CM，在E点截为两个相等部分。因为CM是与CG配对的直径，所以Ii平行于gG。于是，如果把折射线CI与Ci延长到切线ML，相交于T与t点，则MT与Mt相等。这样，通过我们的假设，很好地解释了上述现象，即考虑到与晶体表面平行的方向上的偏离，如果有两束光线以相同的倾角但从相对的两边入射，如这里的光线RC与rC，那么它们的折射线将同样地偏离垂直于晶体表面入射光线的折射线所沿着的那条线。
30．为了求与CP、CS、CG成比例的线N的长度，必须通过对晶体截面上的不规则折射的观测来决定。我发现，N与GC的比值只比8比5稍小一点。考虑到以后我将谈到的其他一些观测和现象，我取N等于156，
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这一比值可以称为折射比。再经过有关求解不规则折射的处理方法一段说明后，这种表示方法与玻璃中的3比2一样。
31．在下图中，与以前那样，取晶体表面gG，椭圆GPg，线段N，以及垂直入射光线FC的折射线CM，其中CM偏离FC6度40分。再假定另外有一束光线RC，求它的折射线。
以C为中心，CG为半径作圆周gRG，它与光线RC相交于R点。作RV垂直于CG。再作CV，使它与CD之比等于N与CG之比。作DI平行于CM，它与椭圆gMG相交于I点；再连接CI，它就是所求的光线RC的折射线。它可以这样证明。
取CO垂直于CR，横切角OCG，调节OK使之等于N并与CO垂直，同时画出直线KI。如果能证明出KI是与椭圆在I点相切的直线，那么，至此CI是光线RC的折射线的证明就很明显了。因为角RCO是直角，所以容易看出，直角三角形RCV与KCO相似。于是，CK与KO之比就等于RC与CV之比。而KO等于N，RC等于CG，则CG与CV之比就等于CK与N之比。通过作图，CV与CD之比就跟N与CG之比一样。那么，CG与CD之比也就跟CK与CG之比一样。因为DI平行于CG的配对直径CM，所以KI与椭圆在I点相切；这一点尚须证明。
32．人们发现，正如在普通介质的折射中，入射光线和折射光线与垂线之间夹角的正弦之比为一个常数那样，在CV与CD或CV与IE之间也存在着这么一个比例常数。也就是说，入射光线与垂线之间夹角的正弦，和椭圆中这一光线的折射线与直径CM之间的水平截距，它们之间也存在着这么一个比例常数。如上所述，CV与CD之比等于N与半径CG之比。
33．在改变话题以前，我在这里作点补充，把这种晶体的普通折射和不规则折射放在一起比较时，下述事实值得注意，即如果ABPS是光在某一段时间间隔内在晶体内传播开的回转椭球（如上所述，这种传播方式适用于不规则折射），那么内切球面BVST就适用于普通折射情况下光在这同一时间间隔中的传播。
我们在这前面已经指出，线段N是光在空气中传播的球面波的半径，而在晶体内，光通过回转椭球ABPS传播。N与CS的比等于156，962比93，410。如上所述，普通折射的比等于5比3；也就是说，N作为空气中球面光波的半径，在同样的时间间隔内，光在晶体内的传播也会构成一个球面，不过它的半径与N的比应该等于3比5。那么156，962与93，
并且可能精确地沿球面BVST运动，而对于晶体中的不规则折射，光沿回转椭球面BPSA运动，并且在晶体外的空气中沿半径为N的球面运动。
按照我们所作的假设，尽管光在晶体中有两种不同的传播方式，显然只有在垂直于回转椭球的轴BS的方向上，光的传播才会比其他方向快些。而在其他方向上，即在不行于轴BS（晶体的钝角上的轴）的方向上，光的速度相同。
34．我现在要指出，对于刚才已经看到的折射比，必然导致一个值得注意的性质，倾斜照射在晶体表面的光线不经过折射进入晶体。作与以前一样的假定，取光线RC与同一表面gG成73度20分的角RCG，倾斜入射到晶体的同一边（关于这种光线我们在前面已经提到过）。如果采用以上交代过的步骤来研究折射线CI，就会发现它与RC精确地构成一条直线。实验一致表明，这条光线完全没有偏转。这一点在下面的计算中会得到证实。
与前面一样，取CG或者CR等于98，779；CM等于100，000，角 RCV等于73度20分，则CV等于28，330。因为CI是光线RC的折射线，所以CV与CD之比等于156，962与98，779之比，即等于N与CG之比；于是CD等于17，828。
既然gD，DC的乘积与DI的平方之比等于CG的平方与CM的平方之比，则DI或者CE等于98，353。而CM与MT之比，又等于CE与EI之比，于是MT等于18，127。把它加上11，609长的ML（即取CM为长等于100，000的半径时，6度40分角LCM的正弦），得到LT等于27，936。它与LC99，324的比等于CV与VR的比29，938，即73度20分角RCV的余角的正切值与半径之比。由此看出RCIT是一条直线，这一点已得到证明。
35．此外，依据我们以下的论证可以看到，通过晶体的另一个表面出现的光线CI应当十分笔直地穿出。它表明这种晶体中得到的折射可逆性关系，与其他透明体一样。换句话说，如果光线RC遇到晶体CG后折射成CI，折射线CI从晶体的平行对平面中出来，取为IB，它的折射线IA平行于光线RC。
作与上述同样的假定，取CO垂直于CR，表示波的一部分，它在晶体中的延续为IK，于是C点沿直线CI传播，而O点到达K点。现在，如果取与前段时间同样长的第二段时间，波IK上的K点在这段时间里将沿平行并且等于CI的直线KB前进，因为波CO上的每一点到达表面CK后，都应该象C点那样在晶体中继续进行传播，并且在这同样的时间内以I点为中心，在空气中产生一个半径IA等于KO的球面分波。因为KO也是在相等时间内穿过的。同样，如果考虑波IK上的其他点，譬如h，它将沿着hm平行于CI向前，与表面IB相交，而K点穿过等于hm的距离Kl。而当它走完剩下的一段lB时，以m点为中心将产生一个半径为mn的分波。mn与lB之比，等于IA与KB之比。由此或见，半径为mn的波与半径为IA的波将有相同的切线BA。晶体之外光波IK各点与以太表面IB相碰所形成的球面分波，情形也是一样。于是，当光由K点到达B点时，光波IK在晶体外精确地传播到切线BA。因此，垂直于BA的IA是光线CI穿出晶体后的折射线。那么很明显，由于IB等于CK，IA等于KO，并且角A和角O都是直角，故IA平行于入射光线RC。
由此可见，根据我们的假设，折射的可逆性关系在晶体中与在普通的透明体中一样好的成立。事实上，观测所得到的结果正是这样。
36．现在我考虑晶体的其他截面及其折射，正如将要看到的那样，许多值得注意的现象都与它们相关。
设ABH为一块平行六面体水晶，它的上表面AEHF是一个完整菱形，它的纯角被直线EF平分，锐角被垂直于FE的直线AH平分。
我们以下要考虑的截面通过线EF与EB，同时还与平面AEHF正交。这一截面上的折射与普通介质中的折射一样。过入射线并且与晶体表面正交的那个平面，正是求折射线的平面。但是，这种晶体的其他每个截面的折射却具有如下奇异性质：折射线总是离开入射光线所在的垂直于表面的那个平面，朝晶体倾斜的方向偏转。我们将揭示出这些现象的原因，首先是过AH的截面的现象，同时按照我们的假设给出如何确定折射线。设过AH并与平面AFHE正交的平面上，有入射光线RC；在这种晶体内求折射线。
37．设AH与FE相交在中心C上，光在晶体内传播形成半椭球面QGggM。再假定它与平面AEHF相截的椭圆为QGqg，长轴直径为Qq，位于线AH上。Qq也必定是回转椭球面的长轴直径之一；因为回转椭球的轴位于通过EFB并与QC垂直的平面上，所以QC也与回转椭球面的这个轴垂直，因此QCq是回转椭球的长轴直径之一。而这个椭圆的短轴半径Gg与Qq的比，已在前面的第27节中所给出，等于CG与回转椭球长轴半径CR之比，即98，779比105，032。
设光在晶体中以C为中心形成回转椭球面QGqgM的时间内在空气中穿过的距离为线段N。在CR与AH的平面内，作CO垂直于CR。横切角ACO，调节直线OK，使之等于N并与CO垂直。它与直线AH的交点为K。因此，假定CL垂直于晶体AEHF的表面，CM为垂直照射在这一表面上的光线的折射线。并过直线CM和KCH作一平面，在回转椭球面截得半边椭圆QMq。由于角MCL给定为6度40分，这个半边椭圆被给定了。的确，依据第27节作出的解释，与回转椭球面在M点相切的平面，应当平行于平面QGq，其中M点是直线CM与回转椭球面的交点。如果过K点作KS平行于Gg，它也与椭圆QGq在Q点的切线QX平行。如果设想一个过KS并与回转椭球面相切的平面，切点就必然在椭圆QMq上，因为通过KS的这个平面，以及与回转椭球面在M点相切的平面，都平行于回转椭球面的切线QX。证明将在本书的结尾给出。设这个切点为I。作KC、QC和DC使之成比例。作DI平行于CM，连接CI。CI就是所求的光线RC的折射线。显然，如果认为垂直于光线RC的CO是光波的一部分，我们可以证明当O点到达K′点时，C点在晶体内可以到达I点。
38.正如论反射的那一章中的一样，在证明入射光线与反射光线总是位于垂直于反射面的同一个平面时，我们考虑了光波的宽度，在这里我们也同样必须考虑光波CO在直径Gg上的宽度。取宽度Cc在角E那边，平行四边形COoc为光波的一部分。作出平行四边形CKkc，CIic，KIik和OKko。在线段Oo到达晶体表面上的Kk的时间内，波COoc上的各点都将沿平行于OK的直线到达矩形Kc，此外，从它们的入射点出发，在晶体内产生与回转半椭球QMq相似并且位置一样的回转半椭球分波。在Oo到达Kk同一时刻，所有这些回转半椭球面必定与平行四边形KIik相切。这是很容易理解的，因为在这些回转椭球中，所有那些中心沿着线段CK的回转半椭球都与这一平面在线KI上相切（这一点可以用我们求通过EF的主截面上斜射光线的折射的方法来证明）。那些中心位于线Cc上的回转半椭球都与同一平面KI相切于直线Ii。所有这些半回转椭球面都与回转半椭球面QMq相似。由于平行四边形Ki与所有这些回转椭球面相切，当Oo到达Kk时，这同一个平行四边形正好是波COoc在晶体内的传播，因为它构成了运动的终端，而且也因为在这里出现的运动量比在其他任何地方都大。于是，可以看到波COoc上的C点传播到I点，也就是说，光线RC被折射成了CI。
由此注意到，晶体这一截面的折射比等于线N与半径CQ的比。依照前面给出的过FE的截面情形的同样方法，可以方便地找到所入射光线的折射线。证明也相同。显然，这里所说的折射比小于过FEB的截面上的折射比，因为在那里这一比值等于N与CG的比，即156，962比98，779，非常接近于8比5；而在这里这一比值等于N与回转椭球面的长轴半径CQ之比，为156，962比105，032，非常接近于3比2，只不过稍小一点。这一点同实验观测中的发现完全吻合。
39．此外，反射比的不同导致了这种晶体的一个非常奇异的效应。把它放在一张写了字母或者作了其他任何标记的纸上，如果人的双眼从过EF的截面的上方进行观察，就会看到，不规则折射使这些字母上升，比人眼从过AH的截面所看到的要高些。通过与折射比为5比3的晶体普通折射相比较，这种上升的差别就显示出来了。在普通折射中，字母总是上升得一样高，并且比在不规则折射上升得高些。人们看到的字母和写这些字母的纸好象在同时处于两个不同的层次。当眼睛处于第一种位置时，即位于过AH的平面，这两个层次的距离得比当眼睛位于过EF的平面的另一种位置时大四倍。
我们将证明折射造成的这个效应。它可以使我们依据眼睛的不同位置同时确定晶体下方放置的物体的一点的视在位置。
40．首先让我们看一下，过AH的平面的不规则折射，把晶体的底部提高了多少。设图中的平面分别表示经过Qq和CL的截面，在这一截面中有一束光线RC。与前面一样，设过Qg与CM的半椭圆平面，朝前一个倾斜，倾角为6度40分。这一平面中，CI就是光线RC的折射线。
如果现在考虑晶体底部的点I，被观测的光线ICR、Icr在点Cc处同样地折射离D点的距离应该相等。这两条光线在Rr进入两只眼睛。确实，I点看起来似乎上升到了直线RC与rc的交点S上。S位于垂直于Qq的DP上。如果作DP的垂线IP，它位于晶体的底部。长度SP就是点I在底面上的视在上升高度。
在Qq上作半圆，它与光线CR相交于B，过B作BV垂直于Qq。与前面一样，取这一截面中的折射比等于线段N与半径CQ的比。
那么，以上在第31节中已经证明，作为求折射线的方法，VC与CD之比等于N与CQ之比；而VB与DS之比，等于VC与CD比。因此，VB与DS之比，就等于N与CQ之比。设ML垂直于CL。因为我假定眼睛Rr离晶体一英尺左右，因而角RSr就很小，VB可以被视为等于半径CQ，DP等于CL。于是CQ与DS之比，就等于N与CQ之比。而N的值等于156，962，CM等于100，000，CQ等于105，032。于是DS就等于70，283。BL等于99，324，是6度40分角MCL的余角的正弦。在这里CM被取为半径。那么，被认为是等于CL的OP，与DS之比就等于99，324与70，283之比。由此，这一截面的折射引起的I点上升高度就求出来了。
41．现在，在上图之前的那个图形中，作过EF的截面。设CMg是在第27节和28节中考虑过的半椭圆，它是切割以C点为中心的回转椭球面波而得到的。在椭圆上取I点，为晶体的底部。设被观测的折射光线ICR与ICr到达眼睛，CR与Cr对于晶体表面Gg有相同倾角。由此，如果作ID平行于CM，距高DC与Dc相等。其中我假定CM为垂直照射在C点上的入射光线的折射线。通过第28节中的证明，容易看到这一点。的确，点I看起来应该出现在RC直线与rc延长线的交点S上，落在垂直于Gg的线DP上。如果作IP垂直于DP，距离PS就是点I的视在上升高度。在Gg上作半圆，与CR相交于B。从B点作BV垂直于Gg。设N与GC的比为这一截面的折射比，与第28节一样。由于CI就是半径BC的折射线，DI平行于CM，根据我们在第31节中的证明，VC与CD之比就必定等于BV与DS之比。而BV与DS之比，又等于VC与CD之比。作ML与CM平行。因为我还是假定眼睛离晶体很远，BV可认为等于半径CG，因此，DS将是线段N与CG的比例第三项。DP也可认为第于CL。那么，CG等于98，778， CM等于100，000，N等于156，962。于是，DS就等于62，163。而CL也确定了，等于99，324，与第34节和第40节中所说的一样。由此，PD与DS之比就等于99，324与62，163之比。这样人们就能够得到由于这一截面的折射使底部的点I上升的高度。显然，这一高度比在前面那个截面折射造成的上升高度要大，因为在那里的PD与DS之比等于99，324比70，283。
通过晶体的正常折射，我们以上曾经说过，其折射比为5比3，点I
样折射的光线PCR与Pcr来观察P点，这一点必然出现在垂线PD的S上，它是RC与rc延长线的交点。已知线PC与CS之比等于5比3，因为它们分别等于角CSP或角DSC的正弦与角SPC的正弦。因为PD与DS之比，被认为等于PC与CS之比，而两只眼睛Rr又假定离晶体很远，所以上升高度
42．如果取直线AB为晶体的厚度，点B在底部，按所求得的上升高 
等于99，324与70，283之比，AB与AD之比等于99，324与62，163之比。AB的分割如图所示。人们发现，这与实验完全符合。换句话说，如果把眼睛放在沿菱形的短轴切割晶体的平面之上，规则折射将把字母提高到E点，而且会看到，放置字母的底面被不规则折射提高到了D点。而如果把眼睛放在沿菱形的长轴切割晶体的平面之上，规则折射将象前面一样把字母提高到E点，但是不规则折射则只将它们提高到C点。这使得间距CE等于原先看到的间距ED的四倍。
43．在这里，我仅指出一点，对于眼睛的两种位置，由不规则折射产生的像，都不出现在由规则折射产生的像的正下方，而是随着离开晶体的等边立体角的多少而偏离。事实上，这是根据所有关于不规则折射作出的论证而得的。尤其是由最后这些论证表明，点I通过不规则折射出现在垂线DP的S上，在这条线上，点P应当是通过规则折射产生的像，而不是I点的像，它几乎在同一点的正上方，比S高一些。
除了我们刚才考察过的两个位置以外，关于眼睛放在其他位置时点I的视在上升高度，通过不规则折射产生的像总是出现在高度D与C之间。D和C是当人绕着静止晶体从上往下看时逐一地出现的。所有这些仍然同我们的假设一致。除了我们已经研究过的两种截面以外，我在这里给出求晶体的其他截面中不规则折射的方法以后，人们就会相信这一点。取晶体的一个表面，设这个表面上有一椭圆HDE。椭圆的中心C，就是光传播的回转椭球面的中心。回转椭球的截面就是这个椭圆。设入射光线为RC，求它的折射线。
作一平面通过光线RC，它与椭圆HDE的面垂直，并沿直线BCK把它截断。在过RC的同一平面中作CO垂直于CR。横截着角OCK，调节OK使之垂直于OC并等于线段N。其中，我假定线段N是光在晶体内传播过回转椭球HDEM的时间内，它在空气中走过的路程。在椭圆HDE的平面中，过点K作KT垂直于BCK。那么，如果通过直线KT作一个与回转椭球面在I点相切的平面，直线CI就是光线RC的折射线。这一点由第36节中的论证容易推导出来。
但是，必须证明怎样确定切点I。作一条平行于线KT的线HF，它与椭圆HDE相切。设切点为H。再沿CH作一条直线与KT相交于T。设想一个过CH和CM（我假定它是垂直入射光线的折射线）的平面。该平面把回转椭球切为椭圆截面HME。依据本章结尾部分将要证明的引理，过直线KT并与回转椭球面相切的平面，的确与椭圆HME上的一点相切。这一点就是我们要求的I点，因为过PK所作的平面，只能与回转椭球面相切于一点。点I很容易确定，因为只需要用我们前面给出的方法，在椭圆平面上由T点作切线TI就可以了。由于椭圆HME是给定的，它的配对半径为CH和CM；因为过M点所作的平行于HE的直线同椭圆HME相切，正如我们在第27节和第23节中所看到的，这一点得自于下述事实，即过M点所作的平行于平面HDE的平面，与回转椭球面相切于M点。此外，对于过光线RC和CK的平面，这一椭圆的位置也是给定的。由此就容易找到光线RC的折射线CI的位置。
必须注意，同一椭圆HME适用于寻找任何可能位于过RC与CK的平面中的其他光线的折射线。因为依据前不久引用的引理，每一个平行于直线HF或TK，并与回转椭球面相切的平面，都与这个椭圆相切。
为了看一看由我们的假定所推导出的每一种现象是否与事实上的观察一致，我已经非常详细地考察了这种晶体的不规则折射的性质。这么做并没有对我们的假定和原理提供丝毫的证明。但是我打算在这里附加的内容，却再一次不可思议地证实了他们。这就是：这种晶体中存在着不同的截面，由它们构成的表面所产生的折射，依据前面的理论作出的预言精确地与他们应该的结果一样。
为了解释这些截面是什么，设ABKF是通过晶体ACK的轴的立截面，在它上面有一个光在晶体中以C点为中心传播的回转椭球的轴SS。将SS从中间垂直截断的直线，PP，就是一个长轴半径中的一个。
在由平行于晶体相对外表面的天然截面中，这里用线GG来表示，依据我们前面理论中的解释，表面上的折射将由回转半椭球面GNG来决定。同样地，过NN用一个垂直于平行四边形ABKF的平面来切割晶体，在这个表面上发生的折射由回转半椭球面NGN来决定。如果过PP用一个垂直的平行四边形的平面切割晶体，那么在这一表面上发生的折射就应该由回转半椭球面PSP来决定。对于其他情形，也是一样。不过我发现，如果平面NN几乎与平面GG垂直，在A边作角NCG等于90度41分，那么回转半椭球面NGN就变得与回转半椭球面GNG类似，因为平面NN与GG以相同的倾角45度20分倾向于轴SS。因此，如果我们的理论是真实的，必定有这样的结论，过NN的截面所形成的表面，应该同过GG的截面所形成的表面产生的折射一样。不仅截面NN的表面如此，而且所有能够以45度20分角度与这一轴倾斜的平面，它们所形成的截面也是一样。因此，存在着无穷多个平面，它们与晶体的天然表面或者与晶体劈裂面中的任何一个平行的截面，产生完全一样的折射。
我还看到，用一个过PP并与轴SS垂直的平面切割晶体时，这一表面的折射应该能使垂直入射光线在那里不发生偏转。而对于斜射的光线，就总是为与规则折射不同的一种不规则折射。在这一折射下，晶体下面的物体上升的高度将比在另外的那种折射下低些。
同样地，用任意一个过轴SS的平面，譬如本图中的平面，来切割晶体时，垂直入射光线应该不受折射；而对于斜射光线，不规则折射依入射光线所在平面的位置而不同。
这些情况事实上也是如此。于是，我毫不怀疑地认为在任何地方都可能得到类似的成功。由此我得出结论，人们可以用这种水晶制造出类似于那些自然形状晶体的固体，它们可以在它们所有表面上产生与自然表面上一样的规则折射和不规则折射。不过它们不是沿着平行于它们表面的方向，而是以完全另外一种方式劈裂的。人们还可以利用它来仿造锥体，这些锥体可以有四边形、五边形、六边形或者人们需要的任何多边形的底面，除了底面以外它们的表面可以同晶体的天然表面一样地产生折射，而不折射垂直入射的光线。这些表面应该同晶体的轴成45度20分的角度，底面应该是垂直于这条轴的截面。
最后，人们还可以利用它来制造三棱镜或者人们所需要的任何多面棱镜，不管是棱面还是底面都不能折射垂直入射光线，尽管它们都能对倾斜入射的光线产生双折射。立方体被包括在这些棱镜中，它的底面是垂直于晶体轴的截面，而其他面则是平行于这一轴的截面。
从所有这些进一步看到，引起不规则折射的原因根本不是由于这种晶体的构成具有薄层排列并且能在三个方向劈开。企图在这里寻找原因是徒劳的。
为了使那些有这种石头的人能够通过自己的经验来发现我刚才讲过的事实，我准备在这里陈述我切割和抛光它所采用的步骤。使用宝石工匠的切割轮或者采用锯开大理石所用的方法，切割是容易的。但是抛光却很困难，并且采用普通的方法，人们不仅不能使它们透明而且还经常会破坏表面的光滑。
通过多次试验以后，我最后发现这一操作不能使用金属板，而应该使用一块粗糙的并且不光滑的镜子玻璃。在这块玻璃上放上细沙和水以后，人们可以采用同加工眼镜玻璃那样的方法一点一点地把晶体磨平，只是要逐渐减少材料。然而我还不能使它完全清晰透明；但是这些表面所需要的均匀性，已经使人们比在劈裂石头得到的总是有些不均匀的表面，能更好地观察到折射效应。
即使表面只是一般地光滑，如果人们把它放在油或者蛋清上摩擦，它会变得相当透明，使得折射在里面能十分清晰地被鉴别。要想抛光天然表面以消除其不均匀性，这种辅助手段是特别需要的；因为人们无法使它们象其他截面表面一样明亮，那些越不接近这些天然平面的截面就越能很好地被抛光。
在结束关于这种晶体的论著以前，我准备补充述说我在写完所有前面内容后发现的另一个奇异现象。尽管我至今还无法找到其原因，我也不愿因此而放弃对它的叙述，而使别人有机会研究它。看来似乎有必要在我刚才所作的假定之外，再作进一步的假定。经过这么多次的试验所证实了的假定，不会因此而失去它们的可行性。
这一现象是，取两块这种水晶，并把其中一块放在另一块之上。更确切地说，在两块水晶间空开一段距离，并固定它们。如果其中一块的所有边都与另一块的那些边平行，那么一条光线，譬如AB将在第一块上依两种折射，规则折射和不规则折射，分为两条，即，BD和BC。然后它们进入另一块晶体，每一条光线在那里穿过，而本身不会再进一步分裂成为两条。不过，受到规则拆射的那一条，如这里的DG，将在GH再次受到规则折射，另外一条CE在EF受到不规则折射。这种现象不仅出现在这种排列下，而且还出现在每一块晶体的主截面位于同一平面内的其他所有情形下。这里并不要求两个相邻表面平行。从空气中入射到下面的晶体的光线CE和DG为什么不象原先的光线AB那样分裂自己，这一点很不可思议。也许有人会说，光线DG在穿透上面的一块晶体时失去了用于不规则折射的物质运动所必需的某些东西；而同样地，CE则失去了用于规则折射的物质运动所必需的那些东西。但是又有另外一种现象推翻了这一推理。这种现象是，使两块晶体的主截面平面垂直放置时不论相邻的两个表面是否平行，来自规则折射的那束光线如DG，在下面一块晶体上将只受不规则折射；相反，来自不规则折射的那束光线，如CE，将只受到规则折射。
除了我刚提到的那些情形以外，在无穷个其他所有的位置，光线DG和CE经过下面的晶体的折射，再次将它们各自分为两条。因此一条光线AB成为四条光线，对应着晶体之间的不同位置，有时候它们同样亮，有时候它们中间的一些比另一些亮。不过把它们聚集到一起也不会比单条光线AB更亮。
保持光线CE和DG不变，考虑对下面的晶体位置的依赖，如何使它们都分裂为两条，如何使它们都不分裂，以及光线AB在上面如何分开的。似乎不得不得出结论，光波在穿过第一块晶体时，由它带来了某种结构或者某种排列。当它遇到处于某一位置的第二个晶体结构时，它们就变成能用于两种折射的两种不同类型的物质，而遇到另一位置的第二个晶体时，它们只变成这两种物质中的一种。至今我还没有找到令我满意的答案来解释这是怎么发生的。
那么就把这个课题留给别人去做。我将转到关于这种晶体的不规则外形的原因，以及为什么它能容易地沿平行于它的任意一个表面的三个方向劈开上来。
有许多物体，植物、无机物和结晶盐，它们都是由某一规则角度和规则外形构成。在花中，有些花的花瓣是按规则的多边形排列的，多边形的边数可以为3、4、5或者6，但不能更多。无论就这一多边形外形而言，带是就它为什么不能超过6而言，都值得好的研究。
岩石晶体通常生长为六面体的棒，而得到的钻石则呈现为四顶点和四个抛光面。有一种扁平岩石由各边稍微内弯的圆角五边形一个正对着一个地堆叠起来。由海水生成的灰盐颗粒，多数呈立方体形，或者至少为角形体。而在其他类型的盐的结晶体和糖的结晶体中，总可以找到有相当平坦表面的其他一些立角体。小雪片总是呈六角星形落下，而且有时是有直边的五角形。在开始结冰的水中，我经常观察到一种扁平而又薄的冰片，它中间的光线分裂为60度角倾斜的光线。所有这些情况都值得仔细研究，以确定大自然在那里怎样和以什么方式起作用。不过它还不是我现在彻底处理这些现象的目的。看来，一般来讲，这些产物中出现的规则性是组成它们的小而不可见的相同微粒排列的结果。至于冰岛水晶，如果存在着一些由细小圆形微粒构成的四面体，譬如ABCD。微粒不是球形的而是扁椭球形，由椭圆GH绕其短轴EF旋转而得到（EF与长轴之比约为1与8的平方根之比）——我认为D点的立体角将等于这一晶体的钝角等面角。进一步，我认为如果这些微粒轻轻地粘在一起。在打破这个四面体时，它就顺着平行于那些粘结点的平面裂开。采用这种方法，容易看出，由此可以形成与另一张图中表示的棱柱形晶体。原因是，按这种方式裂开时，一个完整的层片很容易同其相邻的层片分离。由于每一个椭球必定只与相邻层片的三个椭球分离，而且这三个椭球中只有一个与它的扁表面接触，另外两个在边上。这些表面能够轮廓分明地光滑地分开的原因是，如果相邻表面的任何椭球要从所依附的正在分离的表面上跑出来，它必须与连接它的其他六个椭球分开，其中四个椭球是以扁表面紧贴着它。那么，由于不仅晶体的顶角而且它的分裂方式，都与我们的观察恰好一致，就有理由相信微粒就是这样的形状和这样的排列。
鉴于巴塞林那斯先生提到，他曾偶然发现过一些三角锥体，这种棱柱形水晶极有可能是由锥体的裂解形成的。但是若一个物体内部只是由那些小椭圆组成和堆叠，不管它的外部形状如何，依据我刚才作解释的推理，在破裂时的确会产生一样的棱柱体。是否还有其他原因来证实我们的猜想，是否不存在与此矛盾的原因存在，有待于再研究。
也许有人反对说，这样构成的晶体还能够依另外两种方式劈开；一种是沿着与锥体底面平行的平面，即三角形ABC；另一个平面平行于沿着与GH、HK、KL连线标志的平面。我认为对于这两种情况而言，虽然它们都是可能的，但是比平行于锥体三个平面中任何一个的那些情况要困难得多。因此，在敲击晶体使其破裂时，它总是顺着这三个平面裂开，而不是顺着另外两个方向裂开。如果有许多具有上述外形的椭球，把它们排列成为一个锥体，就会看到为什么那两种分割方式比较困难。因为在与底面平行的分割方式中，每个椭球必须与其在扁平表面上粘接的三个椭球分开，这种粘接比在边上的粘接更紧。另外，这种分割也不会沿着整个层片发生，因为一层中的每一个椭球几乎不会被同层中围着它的六个椭球束缚住，它们只是在边上接触它；因而它很容易与邻层粘连在一起。由于同样的原因，其他的椭球也会与它粘连，这就导致了不均匀的表面。通过实验也能看到，在一个稍微粗糙石头上研磨晶体时，直接对着等边立体角，人们确实发现沿着这一方向非常容易弄碎它，而以后抛光时采用这一方式弄平表面时就很困难。
关于沿平面GHKL分割的另一种方式，可以看到每一个椭球必须同邻层的四个椭球分开，其中两个椭球与它在扁平表面上粘接，另外两个在边缘上。因而这一种分割方式同样比平行于晶体的某一个表面的分割方式困难。正如我们已经说过的，在这种分割方法中，每个椭球同邻层的三个椭球分开，而这三个椭球中只有一个同它在扁平表面上相接触，另外两个仅仅在边缘。
从以上最后一种方式，使我认识到晶体中存有薄层的，却是我所拥有的一块半磅重的晶体。就象以上提到的用平面GHKL劈裂棱柱那样，沿着纵长方向劈开它，颜色看来就象是通过整平面散开的彩虹，即使已裂开的两块仍旧连在一起。所有这一切都证明，这种晶体的结构确实如我们以上所述。对此，我再补充以下实验：用小刀沿某一天然表面来刮晶体，如果从等边钝角的方向下刮，即从锥体顶点向下刮，就会发现这样刮很困难；但是，如果反向刮，就能容易地弄出一个割口。这显然是小椭球的位置所决定的。在前一种方式中，小刀会在椭球上面滑动，但在后一种方式下，小刀将从下部就象刮鱼鳞一样刮动他们。
我不准备讨论有关这么多相似而且一样大的微粒产生的任何问题，也不准备讨论它们为何如此完美地排列；无论它们是先形成再集中，还是在形成时就迅速这么排列，在我看来，都有可能。要得出这么深奥的真理，所需求的知识将远大于我们已有的知识。我只顺便补充一点，按上述假设，与轴平行排列的各个小椭球，成为形成椭球形光波的原因之一。
本章已经假定的计算
巴塞林那斯先生在他的有关这种晶体的论著中，取表面上的钝角为101度，我说的是101度52分。他指出他直接在晶体上测量了这些角度。要很精确地测量是困难的，因为象图中的棱CA和CB通常是弯曲不直的。于是，为了更准确些，我宁愿去实际地测量钝角。这些钝角使表面CBDA、CBVF彼此倾斜，换句话说，作CN垂直于FV，CO垂直于DA，形成的角OCN就是这个钝角。我发现这个角度等于105度，并且它的补角CNP应该等于75度。
为了由此求钝角BCA，设想一个以C为中心的球面，在它上面有一个球面三角形，由包围立体角C的三个平面横截形成。在这个等边三角形（即另一个图中的ABF）中，我发现它的每一个角应该为105度，即等于角OCN；而每条边对应的角度应该为角ACB、ACF或者BCF。再作弧FQ垂直于边AB，并在Q点将它分为两个相等部分。三角形FQA就有一个在Q点的直角，一个等于105度的A角，一个等于一半A角即52度30分的角。因此斜边AF将等于101度52分。弧AF就等于图中这种晶体的ACF角的大小。
在同一图中，如果平面CGHP切割晶体使得它平分钝角ACB和角MHV。在第10节中已经指出，角CFH应该等于70度57分。这一点在上述的球面三角球ABF中也容易看出来。显然，孤FQ与晶体中的角CFH的补角GCF一样大。现在已求得弧FQ等于109度3分。于是它的补角70度57分，就是角CFH的大小。
在第26节中指出，直线CS，取上图中的CH，是晶体的轴时，也就是说，它与三条边CA、CB和CF倾斜相同的角度GCH等于45度20分。这一点也可以通过上述球面三角形方便地算出。作平分BF并与FQ相交于S点的弧AD，点S就是三角形的中心。很容易看出，弧SQ等于表示晶体的图中角GCH的大小。在直角三角形QAS中，已知A等于52度30分，边AQ等于50度56分；因此边SQ就等于45度20分。
在第27节中需要证明，以C点为中心的椭圆PMS，与直线MD在M点相切，CM与垂直于DM的CL构成的角MCL等于6度40分，而短轴半径CS与CG（它与MD平行）构成45度20分的角GCS。——我说，它需要证明，若CM等于100，000，椭圆的长轴半径PC就等于105，032，而短轴半径CS等于93，410。
延长CP和CS，使它们与切线DM相交于D和Z点。从切点M作MN和MO与CP和CS垂直。因为角SCP和角GCL是直角，所以角DCL就等于45度20分的角GCS。把45度20分的角LCP减去6度40分的角LCM，得38度40分的角MCP。考虑长为100，000的半径CM，38度40分角的正弦MN就等于62，079。在直角三角形MND中，MN与ND之比就等于半径与45度20分的正切之比（因为角NMD等于角DCL或者角GCS），即等于100，000与101，170之比。由此得出，ND等于63，210。不过，CM等于100，000时，NC等于78，079，因为NC是38度40分角MCP的补角的正弦。因此，整条线段DC等于141，289。由于MD与椭圆相切而，DC与CN的比例中项的CP，等于105，032。
同样，因为角OMZ等于角CDZ或LCZ，等于44度40分，是角GCS的补角。所以，半径与44度40分角的正切之比等于OM即78，079与OZ即77，176之比。而OC等于62，479，因为OC等于MN，即38度40分角MCP的正弦。因此整条线段CZ等于139，655，而CZ与CO的比例中项CS，等于93，410。
在同一个地方，我们曾指出GC等于98，779。为了证明这一点，在同一图中，作PE平行于DM，与CM相交于E。在直角三角形CLD中，边CL等于99，324（CM等于100，000），这是因为CL是6度40分角ICM的补角的正弦。又由于角LCD为45度20分，与角GCS相等，所以边LD等于100，486。于是，减去ML即11，609之后，留下MD等于88，877。那么CP即105，032与PC即66，070之比，等于CD（它等于141，289）与DM即88，877之比。而PE的平方同Cg的平方之比，等于ME与EH之积（确切地说，CM与CE的平方差）同MC的平方之比，也等于PE的平方与gC的平方之比。那么DC与CP的平方差，与CD的平方之比，也等于PE的平方与gC的平方之比。而DP、CP与PE已知，由此求得GC等于98，779。
已经假定的引理
如果一个回转椭球面与一条直线相切，同时又有两个或者更多的平面与这条直线平行，尽管它们彼此之间不平行，所有与这条直线和平面相联结的点位于同一个椭圆上。该椭圆由一个通过回转椭球中心的平面形成。
设LED为回转椭球，它与线BM在点B相切，也与平行于这条直线的平面在点O和点A相切。需要证明点B、O、A位于同一个椭圆上，这个椭圆是回转椭球上由经过其中心的平面产生的。
经过线BM，点O和A，作彼此平行的一些平面，把回转椭球截成椭圆LBD、POP和QAQ；这些椭圆相似并且具有类似的位置。它们的中心K、N、P都在该回转椭球的同一条直径上。这条直径也是经过回转椭球中心的平面截成的椭圆的直径。它与所说的三个椭圆平面正交。所有这些都在阿基米得（Archimedes）的《圆锥体与球体》（Conoids and Spherods）一书的定理15中给出了证明。此外，过点O和A所作的后两个平面，在切割与回转椭球在这个点相切的两个平面时，形成直线OH和AS。很容易看到，这两条直线与BM平行，并且所有这三条直线BM、OH和AS在B、O和A点与椭圆LBD、POP和QAQ相切，由于它们位于这些椭圆平面内，同时又位于回转椭球相切的那些平面内。现在假定点B、O和A作有直线BK、ON和OR穿过各椭圆的中心，如果过这些中心又已作有与切线BM、OH和AS平行的直径LD、PP和QQ，那么这些直径与前面说的BK、ON和AR将是共轭（配对）的。因为这些椭圆相似并且同样地放置，它们的直径LD、PP和QQ又互相平行，所以，它们的共轭直径BK、ON和AR必定互相平行。同时如上所述，这些中心K、N和R在回转椭球的同一条直径上，所以这些平行线BK、ON和AR必定位于过回转椭球直径的同一平面。结果，点R、O和A就在这个平面截成的那个椭圆上。这一点已得到证实。显然，如果除了点O和A以外，还存在着其他平行直线BM的平面与回转椭球相切的切点。证明也是一样的。
第六章
论起折射和反射作用的
透明体的形状
在阐明了如何根据我们关于不透明体和透明介质性质提出的假设得到反射和折射的特性之后，我将在这里给出一种简易而自然的采取同样原理的实用图形推导方法，通过折射或反射，这些图形可以根据需要发散或汇集光线。尽管到目前为止我还没有看到利用折射图形的工具，这不仅因为按照这些图形以必需的精度加工望远镜片有困难，而且还因为折射本身存在着一种妨碍光线完好一致的性质，牛顿先生已用实验作了充分的证实，我也不愿放弃这一发现，可以说因为它表现了它的特征，还因为它发现了折射光线与反射光线的统一描述，进一步证实了我们的折射理论。还有，将来或许有人会找到目前尚未发现的用途。
为了着手讨论这些图形，先假设需要找到一个表面CDE，它把来自A点的光线汇聚到点B。而该表面的峰为直线AB上的给定点D。我认为无论折射还是反射，只要使表面象这样，从A点到曲线CDE上的各点，再从这些点到聚焦点的光程（这里的光程是直线AC和CB，直线AL和LB，以及直线AD和DB）的传播时间相等。运用这个原则求这些曲线就变得容易了。
对于反射表面，因为直线AC与CB的和应该等于AD与DB的和，显然DCE应当是一个椭圆。而对于折射，假定已知介质A与B中的光速比，例如为3比2（如我们所知，这与折射中的正弦比是一样的），只需作DH
线应该通过的那些点中的一个。因为该点是按这种方法找到的，很容易立即证明沿AC、CB所需要的时间等于沿AD、DB所需要的时间。
假定直线AD表示光在空气中经过这段距离AD所需要的时间，显然，
小，所需要的时间成比例增加。于是，整个直线AH，将表示沿AD、DB所需要的时间。同样，直线AC或AF表示沿AC所需要的时间。等于CB的
CB所需要的时间。由此可见，沿AC、CB所需要的时间等于沿AD、DB所需要的时间。同样可以证明，如果L与K是曲线CDF上的另外的一些点，那么沿AL、LB所需要的时间以及沿AK、RB所需要的时间，也总是用直线AH所表示。于是，等于上述沿AD、DB所需要的时间。
为了进一步地证明通过这些曲线旋转形成的表面，使所有自A点到达它们的光线，以同样的方式趋向B点，假定曲线上有一点K，距离D比C远些，以致直线AK落在从外部折射的曲线上。以B点为中心作弧KS，它与BD相交于S，与直线CB相交于R。再以A点为中心作弧DN，与AK相交于N。
因为沿AK和KB所需要的时间，等于沿AC和CB所需要的时间，如果从前者扣除沿KB的时间，并从后者扣除沿RB的时间，那么剩下来沿AK的时间等于沿AC和CR两部分的时间。因此，光沿AK传播的时间里，它也沿AC传播并且又以C为中心以CR为半径在介质中形成了一个球面分波。因为CB与圆周KS正交，所以该分波与此圆周相切于R。同样地，如果人们考虑曲线上的另一点L，得到当光沿AK传播时，它也沿AL传播并又以L为中心形成一个与上述圆周KS相切的分波。曲线CDE上的其他所有点都是如此。那么，在光到达K点时，弧KRS将包络自A点出发经过DCK的传播的光运动。因此，这段圆弧构成由A点发源的波在介质中的传播；可以由弧DN，或者由其他离中心点A更近的弧来表示。而弧KRS上的各个部分将顺序沿垂直于它们的直线传播，也就是说，沿趋向中心B的直线传播（可以用我们以上证明球面波是沿来自其中心的直线传播的这一方法来证明），并且正是波的各个部分的光程本身构成了光线。显然：所有这些光线都趋向于B点。
也可以用下述方法来决定用作折射的曲线上的C点和其他所有点：在
出弧FC；显而易见，这两种构造方法都将回归于我们前面所讲的第一种方法。并且通过后一种方法可以看到，这些曲线正是笛卡儿先生在他的《几何学》中称之为的第一类卵形曲线。
在这种卵形曲线中只有其中的一部分适用于折射即DK，如果AK是切线，K是终点。至于其他部分，笛卡儿指出，如果有某种特性能使光强（或者，我们应当说是光速，但他不会这么说，因为他认为光的运动是瞬时的）按3比2的比例增加的材料制成镜面，那么它可以用于反射。但是我们曾经证明，在我们关于反射的解释中，镜面的物质是不可能产生这一现象的，它完全是不可能的。
从有关这种卵形曲线的论证出发，很容易找到一种图形将平行入射线汇聚到一点。采取同样的考虑，只是假定A在无穷远处发出平行的光线，卵形曲线就变成了正椭圆，其图形同卵形曲线的没有什么两样，只是先前为圆周上一段弧的FC，在这里变成了一条垂直于DB的直线。因为光波DN也同样由一条直线表示，不难看出这一波上所有点沿平行DB的直线传播到表面KD，然后朝向点B并于同一时刻到达那里。至于用作反射的椭圆，显然它在这里变成了一条抛物线，因为它的焦点A可以被视为与另一个焦点B相距无穷远，B就是这条抛物线的焦点，所有平行于AB的光线的反射线都趋向它。这些效应的证明与前面的证明一样。
通过代数计算很容易得到，用于折射的曲线CDE是一个椭圆，它的长轴半径与焦距之比为3比2，即折射比。给定DB为a，它的未确定的垂线
于是DO的平方与焦距的平方之比为9比9—5，即9比4，因此DO与焦距之比为3比2。
此外，如果假定B点在无穷远，我们会发现CDE不再是第一类卵形曲线而是一个正抛物线，它使来自A点的光线变得平行。结果，那些在透明体内平行的光线在外面汇聚于A点。必须注意，CX与KS变成了垂直于BA的直线，因为它们表示中心在无穷远处的圆上的弧。垂线CX与弧FC的交点为C点，这一点是曲线所应该通过的点。同理，光波DN上的所有部分到达表面KDE之后，平行地同时地到达KS直线。它的证明同第一类卵形曲线的证明一样。另外，同前面同样简单的计算发现，这里的CDE是一个抛物
与焦距之比为3比2。
这是圆锥曲线用于折射的两种情形，同笛卡儿在他的《折光学》（Dioptrique）中所作的解释一样，他首先发现了关于折射中这些曲线的用途，以及我们刚才讨论的第一类卵形曲线的用途。第二类卵形曲线适用于汇聚于一给定点的光线，在这种卵形曲线中，如果接受光线的表面的顶点为D，那么另一个顶点将位于B和A之间，或者落在A点以外，其具体位置依据AD与DB之比值的大小而定。后一种情形，与笛卡儿称之为第三类卵形曲线中的情形相同。
第二类卵形曲线的求解和图形与第一类卵形曲线的情况相同，其作用的证明也相同。不过值得注意的一点是，这一类卵形曲线在一种情形下将变成为完全的圆，即当AD与DB的比和折射比相同时。在这里该比值应如我在很久以前所观察到的那样为3比2。第四类卵形曲线能运用于一些不可能存在的反射，没有必要提出来了。
至于笛卡儿先生发现这些曲线的方法，由于他本人没有对此作过说明，在我所知道之前也没有谁对此作过说明，因而在这里我顺带提一下我对这一点的看法。假定我们想要找一个由曲线KDE旋转而成的表面，使从A点入射的光线转向点B。那么考虑已知的另一条这样的曲线，它顶点D在直线AB上。用G、C、F等点将它分割成无穷多小段，从这些点向A点作直线，表示入射光线。再从这些点向B点作另外的直线，然后以A点为中心画弧GL、CM、FN、DO，它们与来自A点的光线在L、M、N、O等点相交。通过点K、G、C、F，画弧KQ、GR、CS、FT，它们又与传播向B点的光线在Q、R、S、T等点相交。又假定直线HKZ与该曲线在K点相交。
那么，AK为入射光线，KB则为它在介质内的折射线，依据笛卡儿先生所知道的折射定律，必定可以得到的ZKA的正弦值与角HKB的正弦值之比为3比2，这一比值就是玻璃的折射比。确切地讲，角KGL的正弦值与角GKQ的正弦值之比，应该等于该比值，这里已考虑到KG、GL、KQ短小而认为它们是直线。如果GK取为圆的半径，这些正弦值就是KL与GQ。于是，LK与GQ之比就为3比2；MG比CR、NC比FS、OF比DT也是同样的比值。那么所有前者之和与所有后者之和的比，也应当等于3比2。通过延长弧DO与AK相交于X，KX就是前者的和。延长弧长Q与AD相交于Y，后者的和就是DY。于是KX与DY之比就应该等于3比2。由此可见，曲线KDE有以下性质，即从曲线上某一点，臂如K，作直线KA和KB，AK超出AD的部分与DB超出KB的部分之比为3比2。可以类似地证明在这条曲线上任意取另外一点，譬如G，AG超出AD的部分VG，与BD超出DG的部分DP之比，也为同样的比值3比2。通过这一原则，笛卡儿先生在他的《几何学》中构造出了这些曲线，并且他还很容易地认识到，在平行光情形下这些曲线将变成为抛物线与椭圆。
现在，让我们回到我们自己的方法上，并着一看，当玻璃的一边为给定图形时，另一边所要求的曲线是如何通过我们的方法毫无困难地找到的。这一给定图形不仅可以是平面，球面或者某一圆锥截面（这是笛卡儿提出该问题时所给出的限制，他把这一问题的解决留给了后人），而且还可以是完全任意的图形，也就是说，通过旋转任意给定曲线听得到的图形，对于给定曲线，人们只需要知道如何画出它的切线就可以了。
假定给定图形是通过某一曲线AK绕轴AV旋转而得到的，并且玻璃在这一边接收到来自L点的光线。此外，假定玻璃中部的厚度AB为已知，并且我们要求光线完全汇聚在点F上，无论发生在表面AK上的第一次折射如何。
我认为这一问题的唯一要求是构成另一表面的周线BDK应当这样：光线从L点到表面AK，再从那里到表面BDK以及再到点F的行程应当处处时间相等，并且在每一情形下所需要的这一时间都等于光沿直线LF穿过所需要的时间，而直线LF的AB部分位于玻璃之中。
假定LG是照在弧AK上的一束光线。它的折射线GV将由过G点作出切
确切地讲，从其中减去已知的LG的长度之后，只需要在VG的范围内调整
简明的问题：D点是曲线BDK应该通过的那些点之一。同样，画出另外一束光线LM，找出其折射线MO之后，在这一直线上可找到点N，如此下去进行所需要的次数。
为了证实这一曲线的作用，以L为中心画一圆弧AH，与LG相交于H；
虑到AH是L点发源的光波，A点的光波必定在它从H段到达G点的时间里，沿AS进入透明体。如上所述，假定折射比为3比2。我们知道从G点入射的光波从那里沿线GD传播，因为GV是光线LG的折射线。因为GD与SE相等，在光波由G点到达D点的时间里，位于S点的另一段光波将到达E点。但当后者由E点传播到B点时，位于D点的那段波就已经将它的分波传播到空气中，分波的半径DC（假定分波与DF相交于C点）等于EB的
于FB。由此显而易见，当光线从L点沿LB到达B点时，半径为DC的那个波，将同时与弧BP相切。可以类似地证明在这一时刻顺着其他光线，譬如LM、MN传播的光运动到达弧BP。由此可以得出，正如经常说到的，穿过玻璃厚度以后的光波AH的传播，为球面波BP，上面的各段将沿直线即光线，向中心点F传播。这一点已得到证实。同样，这些曲线在所有可能假定的情况下都能被找到，将在我附加的一两个例子中得到充分证实。
设有一个给定的玻璃表面AK，它是由曲线AK绕轴BA旋转而成的，其中AK可以是直线也可以是曲线。又设轴上有一给定的点L。玻璃的厚度BA也给定；需要求的是另一个表面KDB，它能将其接收到的平行于AB的光线偏转，使得它们在给定表面AK再次折射后能全部汇聚到L点。
从点L向给定直线AK上的某一点作直线LG，并把它看作一束光线，那末可以求出它的折射线GD。并且当这条线沿一边或者另一边延长后，与直线BL相交，其交点在这里为V点。又作AB的垂线BC，由于我们假定了光线互相平行，所以它表示来自无穷远点F的光波。光波BC上的各部分将同时到达L点，更确切地说，发源于L点的光波的各个部分，将同时到达直线BC。为此，必须在线VGD上找到点D，使得在作了DC平行于AB之后，
相比这已是一个较为简单的问题。这样找到的D点将是曲线应该通过的那些点之一。证明将与前面的相同。据此，也可以证明，来自L点的光波在穿过玻璃KAKB之后，将呈直线形，如BC；也就是说，光线将变得平行。由此相反地可以得到，照射在表面KDB上的平行光将汇聚于L点。
再假定有一给定的表面AK，它有绕AB轴旋转而得到的任何所需要的形状。假定中部的玻璃厚度为AB，又假定点L是玻璃后方的轴上的给出的一个点；同时假定照在表面AK上的光线是朝向这个点的。我们需要的是求一个表面BD，它能使从玻璃中出来的光线，看起来似乎是玻璃前方的点F出来的。
在线AK上取任意一点G，然后作直线IGL，它的GI部分将表示入射的一束光线，其折射线GV就可以求出。必须在这条折射线上找到点D，曲线DB应该通过它。假定点D已经找到：在距高LG大于LA时，以L为中心作圆弧GT，与直线AB相交于T。不然的话，必须以同一中心画弧AH，与直线LG相交于H点。这段圆弧GT（或者另外一种情况下的AH）将表示一束入射的光波，它的光线朝向点L。同样，以F点为中心作圆弧DQ，表示一束由F点发源的光波。
于是，光波TG在穿过玻璃以后，必然形成波QD。由此我观察到，光在玻璃中沿GD传播所需要的时间，必定等于它沿TA、AB以及BQ三段所
长度。我们所需要做的所有事情，就是从给定点F作与VG相交的直线FD，使得它满足以上所述。这是一个与用于这些作图方法中的第一个问题十分
在证明中，必须注意，由于弧BC落在玻璃内，所以必须设想一个与之同心的并位于QD另一边的弧RX。那么，证明了光波GT上的G段到达D点的同时，T段到达Q点，就很容易作图得出，当Q段到达R点时，在D点产生的分波将与弧RX相切。于是这一圆弧应同时包络来自波TG的光运动；在这里所有其他的光波都被包括在内。
揭示了寻找这些用于完全汇聚光线的曲线的方法之后，剩下的就是要解释一件值得注意的情形，即有关球面、平面或者其他表面的不同等折射，如果忽略了这种情形，就会使人们怀疑我们先前重申过几次的观点，即光线与沿着与光波垂直的直线传播。
在某一情形下，例如，如图所示，光线平行照射在球面AFE上面折射后彼此相交于不同点。在透明体中，与聚焦光线正交的光波会是什么样子呢？它们不会是球面的。当所说的这些光线开始彼此相交时，光波又会变成什么样子呢？通过对这一困难的解决，我们将看到产生了一些值得注意的东西，尽管光波不会继续完整，但也决不会中断，正如它们穿过依据要求设计的玻璃时我们所看到的那样。
依据上面的证明，从球面顶点所作的与平行于入射光线的轴正交的直线AD，表示光波。当光波的D段到达球形表面AGE上的E点时，它的其他部分将也到达同一表面上的F、G、H等点，并以这些点为中心形成球面部分波。与所有这些分波相切的表面EK，为光从D段到达E点的时间内波AD的继续传播。如果我们设想在凸形曲线ENC上放有一条松开的细线，它的末端E构成了曲线EK，那么线EK不是一段圆弧，而是另一条曲线ENC的渐屈线。ENC同所有平行的光线的反射线HL、GM、FO等相切。假定了这种曲线是这样作成的，我们将证明由中心点F、G、H等形成的光波都与它相切。
曲线EK以及其他由曲线ENC以不同长度的细线作出的渐进展开曲线与所有的光线HL、GM、FO等正交，使得这些光线在两条这种曲线之间所夹的部分都相等。这一点取自于我们的《摆钟论》（de Motu Pendulorum）中的证明。假定入射光线互相之间距离十分接近，如果我们考虑其中的两束，RG与TF，作GQ垂直于RG。如果我们再假定与GM在P点相交的曲线FS，是由从F点开始的曲线NC的渐进展开，其中这一点F也即线FS所延伸到的地方。我们可能假设小段FP是一条垂直于光线GM的直线，同样，假设弧GF是一条直线。而GM是光线RG的折射线，并且FP又与它垂直，正如以上解释笛卡儿的发现时所证实的那样，QF与GP之比必定为3比2，即折射比。对于其他所有小孤GH、HA等，情况也类似。也就是说，在包围它们的那些四边形中，与轴平行的边与其对边之比等于3比2。于是，其中一组之和与另一组之和的比，也等于3比2。换句话说，假定V为曲线EK与光线FO的交点，TF与AS之比，DE与AK之比，以及BE与SK或者DV之比，都等于3比2。而作直线FB垂直于DE，BE与光在透明体外传播从F点发出的球面波的半径之比也为3比2。显而易见，在V点，光线FM与光波相交，与曲线EK正交。因此，光波同曲线EK相切。用同样的方法可以证明，对于以上提到的所有由点G、H等产生的那些光波，情况也是如此。在波ED上的D段到达E点时，它们到达曲线EK。
现在开始讨论在光线彼此交叉之后，光波会变成什么样子。结论是，它们将由此扭弯，并由两个邻接的部分组成，其中一部分是曲线ENC在一个方向上的一条渐屈线，而另外一部分是同一条曲线在相反方向上的一条渐屈线。于是，波KE向聚焦位置前进时变成abc，其中ab由c端固定的曲线ENC上bc的渐屈线形成，bc由E端固定的bE的渐屈线形成。同一光被随后变成为def，再变成为ghk，并最终变成为Cy。并由此光波的传播不再扭弯，而总是沿着曲线ENC的渐屈线行进，递变为末端在C的某条直线。
在这条曲线上甚至有一个部分EN是笔直的，其中N是从球面中心x所作的垂直于光线DE的折射线上的垂足。这里假定折射线与球面相切。光波的扭弯从N点开始，一直到曲线c的末端。它通过取AC比Cx等于折射比3比2，可以作出。
曲线NC上可能需要的其他一些点，可以利用巴罗（Barrow）先生在他的《光学讲义》（LectionesOpticoe）一书的第12节中为别的目的而证明的一个定理来求得。值得注意的是，需要找出与这条曲线长度相等的一条直线。因为它与线NE之和等于已知的线CK。由于DE与AL之比等于折射比，所以从CK中减去EN后，余下的部分就等于曲线NC。
同样，在凹球面镜反射中扭弯的波也可以求得。假定ABC是过轴线的一个内凹半球面的某一截面，半球面的中心为D，它的轴DB平行于入射光。所有这些照在四分之一圆周AB上的光线的反射线，都将与端点E是半球面焦点的曲线AFE相切，换句话说，该点将半径BD分为两个相等部分。该曲线应当通过的这些点可以通过下述方法找到。过A点作某一弧AO，并作长度为其2倍的另一弧OP。再在F点把弦OP分割，使得FP部分为FO部分的三倍。那么，F即为所求的一个点。
因为平行光线仅仅是照在凹形表面上的平行于AD的光波的垂线，当它们顺次地传播到表面AB时，它们通过反射形成了扭弯的光波。这种光波由两条曲线组成，它们是曲线AFE在两个相反方向的渐屈线。因而，取AD为入射波，当AG部分到达表面AI时，即当G段到达I点时，曲线HF与FI一起构成了波AG部分的传播，其中曲线HF与FI分别是从F点出发的曲线FA、FE的渐屈线。此后不久，当AK部分到达表面AM时，K段到达M点，曲线LN与NM将一起构成这个部分的波的传播。这种扭弯的光波将这样继续传播下去，直至N点到达焦点E。用凹面镜对着太阳，可以在烟雾或者扬尘中看到曲线AFE。应当知道，即当一个圆EB在另一个以D为中心以ED为半径的圆中滚动时，不是别的，而唯有这一条曲线是E点在圆EB的圆周上画出的曲线。因而它是一种摆线，可以通过几何方法来求那些点。
与前面曲线的测定方法极为类似，利用这些波可以证明和求出，它的
略去了它们。由四分之一圆弧，直线BE和曲线EFA所围成的面积AOBEFA，等于扇形DAB面积的四分之一。
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