因此, 我們必須對洛倫茲變換(1-12), (1-13)方程組進行修改。即(S')與(S)的時空關系應由以下方程組確定︰
x = x'cosq + ut (1-16)
x'= xcosq + u't' (1-17)
將(1-16)式中帶撇的量與不帶撇的量對換即為(1-17),表示在不同坐標系下時空的對稱性,這也是在不同參照系下描述同一類時空事件的必然要求。而洛侖茲變換(1-12),(1-13)式為滿足u與u'的對稱性,兩個方程式卻不對稱,顯然在不同坐標系下其結論是不同的。因此,洛侖茲變換不可能得出“唯一”的正解。
由(1-17)得 x=(x'-u't')/cosq 再代入 (1-16)
t=(x'sin 2q-u't')/ucosq
對 x , t 分別微分
dx=(dx'-u'dt')/cosq
dt=(dx'sin2q -u'dt')/ucosq
再求對 t 的微分
由式(1-9): u= -u'cos2q
再根據原理(II)sinq = u'/c' 分別 代入上式, 整理后得出︰
從上式我們可以看出︰若令 u = -u', 且cosq =1時, 又回到洛倫茲變換。也就是說洛倫茲變換是(1-18)式的近似解。 從(1-18)式中我們可以解出關于v' 的關系式︰
(1-18), (1-19)式看上去似乎與洛倫茲變換相似, 但它比洛倫茲變換更為深刻地反映了(S')與(S)的時空關系, 它表達的含義也超出了我們一般想象。如當相對速度u'為光速時, cosq =0, 時空偏轉90度;在(1-18)式中, v = 0,此時我們觀察不到(S')系的任何運動, 包括光速。顯然(S')是處于 "黑洞" 狀態(即所謂時空奇點)。
我們以下研究運動系(S')與觀測系(S)的坐標變換的問題。
若運動系(S')相對觀測系(S)運動, 在某一時刻(S')的原點O'與(S)的原點O重合, 相對速度方向與y相同, 根據原理(II), 則(S')與(S)發生偏轉, 偏轉角為q, (o-xy)系與(o'-x'y')系的旋轉角同為q , (如圖1-4)根據直角坐標系的旋轉公式︰
則
x = x'cosq - y'sinq (1-20)
y = x'sinq + y'cosq (1-21)
(1-20)和(1-21)式即為(S)與(S')的空間關係式。
在(1-21)中令 x' = c't', sinq = u'/c' (原理II)
即 y = y'cosq + u't' (1-22)
若將(1-22)式中的y, y' 改寫為x, x' , 則(1-22)式與洛倫茲變換式(1-10)的時空表達方式相同, 只不過洛倫茲變換描述相對運動空間用ut, 而不是(1-22)中的u' t' 。
我們還注意到(1-20)式中的x ¹ -x' (這裡的x相當于洛倫茲變換中的y, y表示垂直相對運動方向的量), 也就是說時空偏轉時垂直于相對運動方向的量x也要發生變化, 而不是洛倫茲變換中的y=y', z=z', 這兩種變換的不同之處在于對時空偏轉的不同認識, 盡管洛倫茲變換中沒有涉及時空偏轉概念, 但在其關系式中, 無意識地應用了旋轉法則, 如1-10式, 同時又得出垂直運動方向上的量不變的結論, 即y=y', z=z'。這一結論是缺乏理論依據的, 或者說這一結論只對一維空間成立。由于洛倫茲變換是研究三維空間的關系式, 因此洛倫茲變換中關于y=y', z=z'的結論不能成立。我們歸納地講, 洛倫茲變換是解析時空理論有關時空旋轉變換概念的特例, 屬于一維時空旋轉變換, 本文中式(1-20)(1-21)屬二維空間平面旋轉變換公式, 而伽利略變換是零維旋轉(無旋轉變換)。一般情況下, 描述(S')與(S)的時空問題, 零維、一維、二維旋轉變換的近似程度是不同的, 尤其是在高速領域, 零維旋轉變換---伽利略變換已基本不再適用, 對于高速運動的坐標系(S')的精確描述, 應采用二維或三維旋轉變換公式。
物理學與數學有不同的地方,只要物理方程的結論與實驗結果‘在一定精度上’或‘在誤差允許范圍內’相符,人們就接受它。根據洛倫茲變換原理設計的粒子加速器至今還在應用,說明其實用價值。解析時空理論並沒有全部否定洛倫茲變換,只是指出它的缺陷,它只是個近似公式,正象相對論的出現,使牛頓理論成為其特例,因為相對論對客觀的描述比牛頓理論更廣泛、更精確。
以下我們求出(S')與(S)的二維旋轉變換的速度關系式︰
由(1-20)(1-21)得到,
x = x'cosq - y'sinq
y = x'sinq + y'cosq
對兩式分別微分
再分別對時間 t 微分
將 dt'/dt=cosq 代入上式即得到︰
式(1-23), (1-24)為二維平面旋轉的速度公式, 上述公式是用幾何法導出的, 以下我們用矢量法加以証明︰
上式推導過程引用了單位矢量導數的布桑公式, 整理后
結果與(1-23)(1-24)相同, 証畢。
以上我們運用解析時空理論的兩條基本原理在狹義相對論范圍討論了時空關系問題。在非慣性系, 即相對速度為變速運動時, 原理(I)、(II)仍然適用。因此, 我們有必要將時空問題引入到廣義相對論涉及的領域。盡管引力場問題只是非慣性時空問題中的一部分內容, 我們依然把引力場問題作為重點研究課題。
1. 太陽光譜線的引力紅移
我們知道太陽系內行星圍繞太陽的公轉速度公式可由萬有引力定律及牛頓第二定律得出︰
假設在太陽表面有一行星Xs繞太陽運動, 那么這顆行星Xs的運動速度為︰
如果我們把觀測系(S)建立在地球上, 運動系(S')相應地建立在行星Xs上, 那么(S')相對(S)產生相對運動速度u, 且 u= vs。
根據前面所求出的公式(1-24)
令 vy' - vy = Dv
D v 表示(S')與(S)描述同一速度的差值。
令 vy' = c, 即 Dv = Dc
式中v 和 l 分別表示光的頻率和波長
(1-26)式與廣義相對論的結果相同, 計算出太陽光譜線的紅移值為︰
在(1-26)式推導中有一個概念值得注意,就是光譜線的紅移並不一定完全由退行速度決定,如果某顆恆星密度極大, 那么即使這顆恆星與太陽系的相對速度很小時, 其光譜線仍會有很大的紅移。這就意味著譜線紅移現象除了與退行速度有關外,還與恆星的密度有關。 另一個與譜線紅移有關的現象就是光線的偏轉, 以下我們就討論這個問題。
2. 引力場中的 "光線彎曲"
光線在引力場中會產生彎曲, 廣義相對論這一判斷得到了實驗証實, 我們也沒有必要懷疑這個事實, 但如何理解這個現象, 我們可從以下的公式的推導過程得到一些結論。
由式(1-25):
令 sina =Dc/c a 為光線偏角:
我們可以根據式(1-27)求出太陽光線的偏角︰
當as很小時有
由于太陽光線的偏角as極小, 且觀測十分困難, 因此我們需要借助日全食來觀測其它恆星的光線偏角。
若我們所觀察的恆星X同太陽情況相類似, 屬于穩定型恆星, 且該恆星的密度同太陽相近, 即有︰
那麼,在日全食時這顆恆星的光線經過太陽表面會發生偏轉,如圖1-5。
由式(1-27),
且 u = vs + vx
這個光線偏角ax並不僅僅由太陽引力造成光線彎曲, 而是由于太陽與X星系統相對地球產生無軌跡運動, 其速度u = vs+vx , 而造成光線在太陽表面的 "彎曲" 現象。ax實際上為太陽與X星光線總偏角。根據式(1-29),得出ax = 1.75";這個結果為式(1-28)的近似值。若X星為白矮星一類的恆星, 計算其光線偏角應采用式(1-28)。
3. 水星軌道的 "攝動"
廣義相對論根據太陽引力場的史瓦西度規, 求出了水星進動偏轉角公式為如下形式︰
根據這個公式, 廣義相對論解決了水星軌道的剩余進動問題。
下式(1-30)是我們根據解析時空理論推導出的關于水星進動公式(限于篇幅推導過程略), 用這一理論得出的計算結果, 同相對論的推論及實際觀測結果相同︰
由(1-30)求出的水星軌道進動值為43.08" / 世紀;該式還可計算金星、地球和其他行星的進動值。
如果說式(1-30)解決太陽系內行星的‘攝動’問題不足為奇,只不過是重複前人的成果的話,那么我們用解析時空理論已一舉攻克了DI海格立斯雙星進動的難題,這一成果具有極其重要的意義,它對于証明解析時空理論的正確性提供了重要的佐証。與我們相距2000光年之遙的DI海格立斯雙星進動問題近年來一直困擾著天文學界,美國賓西法尼亞州Villanova大學的兩位天文學家的愛德華‧吉南和弗蘭克‧馬洛尼當時根據八十四年中觀測到的3000多個軌道歷史數據分析該雙星運行規律,計算出其累積進動值僅為0.64度,而按照廣義相對論的理論公式計算,得出的理論進動值為2.34度﹗相對論的理論值與實際結果相距甚遠,相對論的計算公式適用的廣泛性已經受到了懷疑。天文學界對此問題各種解釋均不能自圓其說,唯一可行的方案就是對相對論進行徹底修正,並創建一個新的時空理論來解決此類問題。由(1-30)式的計算出的結果為0.66度,它與實際值的符合程度ì以說明解析時空理論適用范圍已超出了太陽系空間,同時也彌補了相對論的理論不足。這裡我們必須明確一點︰解析時空理論的出現並非要完全推倒相對論大廈,恰恰相反,正像當初由于相對論的建立,解決了牛頓理論無法解釋水星攝動一樣,它完善和發展了科學理論,使人類對自然的認識又前進了一步。
以下我們給出DI海格立斯雙星的有關數據*,讀者有興趣可自行對比驗算︰
M1=5.2Ms M2=4.5Ms 太陽質量Ms=1.99X1030kg 公轉周期T=10.55d
(累積進動值為84年) 偏心率e=0.489 軌道半長徑a=3.27X1010m
近端軌道速度va=2.02X105m/s 遠端軌道速度vb=1.19X105m/s 算術平均速度v =1.60X105m/s
將以上有關數據代入式(1-30)得出的84年累積進動值理論結果為︰ Y =0.66度 (實測值為0.64度,廣義相對論的理論計算值為2.34度)。
* 注︰文中部分數據摘自Astronomical Journal v 90 p 1519 by E. F. Guinan and F. P. Maloney (1985)和神奇的物質世界 P.15 相對論質疑---黃賢福 |