关于一个数学问题

HDTV · *发表于* 2008-6-1 11:38:13

大家对导数和微分的概念都比较熟悉，就位移、时间、速度、加速度来说下列关系是不言而喻的：
s(t)=∫v(t)dt
v=ds/dt=s'(t)=∫a(t)dt
a=dv/dt=v'(t)
很容易理解，位置的均匀变化的运动即匀速运动，s=vt，速度均匀变化的运动是匀加速运动，v=at,s=(1/2)at^2。虽然在数学上它们是这样的关系，不过好在我们在想象中还能利用物体的运动状态理解这种微分和导数的关系。
大家再看看这个情况吧，众所周知圆的面积和周长为：
S=πr^2 c=2πr
如果把半径r看做自变量，以面积S对r求导即：S'(r)=dS/dr=2πr !这就意味着面积S对r的导数是周长!
再看看匀加速直线运动和圆面积对r的变化：
S(r)=πr^2          S'(r)=2πr    S''(r)=2π
s(t)=(1/2)at^2    s'(t)=at       s''(t)=a
如果位移s对时间t的导数是速度v，速度v对时间t的导数是加速度a我们还能理解，那面积S对半径r的导数是周长c是怎么回事呢，物理现象好在我们有实际的现象来理解数学方程，可这个数学问题完全没有物理概念，我们应该怎么理解呢。圆的面积和匀加速直线运动有没有什么联系

[ 本帖最后由 HDTV 于 2008-6-1 12:06 编辑 ]

jiahao · *发表于* 2008-6-1 18:06:49

有点复杂呀！回去好好研究

watermoon · *发表于* 2008-6-2 12:10:15

原帖由 HDTV 于 2008-6-1 11:38 发表
大家对导数和微分的概念都比较熟悉，就位移、时间、速度、加速度来说下列关系是不言而喻的：
s(t)=∫v(t)dt
v=ds/dt=s'(t)=∫a(t)dt
a=dv/dt=v'(t)
很容易理解，位置的均匀变化的运动即匀速运动，s=v ...

我来回答这位同学的问题：

微分与导数的概念应该参考《数学分析》上面的论述，不再赘述。圆的面积的微分S‘=2πr，这只是一种数学表达形式，实际上我们要追究的是圆的半径参数——变量r变化时，圆的面积增量，也就是dS=2πr*dr。其意义就是，当增量dr非常小的时候，增加的圆环面积（圆面积的增量）就近似等于圆的周长*dr，这相当于增加了一个相对来说很长的长方形，这样就不难理解了吧。解析形式实际上很多都是人们在寻求数值近似的时候得出的，楼主不妨多看看《数值分析》。